copulaPdfGumbel

copulaPdfGumbel(alpha, X)

计算 Gumbel Copula 在给定评估点上的概率密度值。

Gumbel Copula 是二维 Archimedean Copula，具有上尾相关性，适合描述变量在高分位区域同时发生极端变化的依赖结构。例如在保险精算、极值分析或上涨尾部风险分析中，可用于评估两个变量同时位于高分位区域的密度贡献。

该函数仅支持二维输入。形状参数 alpha 越大，上尾相关越强；当 alpha = 1 时退化为独立 Copula，所有有效评估点的密度为 1。

alpha DOUBLE 类型标量，指定 Gumbel Copula 的形状参数 θ，取值范围为 [1, ∞)。

• alpha = 1 表示独立 Copula。
• alpha > 1 表示正相关和上尾依赖。
• alpha 越大，上尾依赖越强。

X 非空二维数值矩阵或表，维度为 n×2，指定需要计算密度的评估点集。其中 n 为评估点数量，即 X 的行数；2 表示该函数仅支持二维 Copula。

• 所有元素必须为有限数。
• 位于开区间 (0, 1) 内的行按 Gumbel Copula 密度公式计算。
• 任意元素 u 位于闭区间边界或区间外（u <= 0 或 u >= 1）的行返回 0。
• 当 X 为表时，每一列表示一个变量，列顺序即变量顺序。

DOUBLE 向量，长度为 X 的行数。返回向量中的第 i 个元素表示 X 第 i 行对应的 Copula 概率密度值。

例1. 计算形状参数 alpha=2.0 的 Gumbel Copula 在中心点 [0.5, 0.5] 处的概率密度。

X = matrix([0.5], [0.5])

y = copulaPdfGumbel(2.0, X)
y
// 输出: [1.5159701227698994]

例2. 对多个评估点计算 Gumbel Copula 密度，观察上尾共同高分位区域的密度增强。

u1 = [0.05, 0.5, 0.95, 0.1]
u2 = [0.05, 0.5, 0.95, 0.9]
X = matrix(u1, u2)

y = copulaPdfGumbel(2.0, X)
y
// 输出: [3.573777977349538, 1.5159701227698994, 7.618281019698686, 0.07257146102091906]

例3. alpha=1 时退化为独立 Copula，有效评估点的密度为 1。

u1 = [0.2, 0.5, 0.8]
u2 = [0.7, 0.5, 0.3]
X = matrix(u1, u2)

y = copulaPdfGumbel(1.0, X)
y
// output: [1, 1, 1]

例4. 展示边界点的处理方式。包含 0 或 1 的行返回 0。

u1 = [0.0, 0.2, 0.9]
u2 = [0.1, 0.3, 1.0]
X = matrix(u1, u2)

y = copulaPdfGumbel(2.0, X)
y
// 输出: [0, 1.6041557744566572, 0]

例5. 使用拟合得到的 Gumbel 形状参数计算样本密度。

setRandomSeed(5)
X = copulaRandGumbel(2.0, 1000)
fitRes = copulaFitGumbel(X)

y = copulaPdfGumbel(fitRes.alpha, X)

fitRes.alpha
// 输出: 1.8788807828784573
avg(y)
// 输出: 2.1981849201337056

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