copulaPdfFrank

首发版本：3.00.6

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copulaPdfFrank(alpha, X)

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计算 Frank Copula 在给定评估点上的概率密度值。

Frank Copula 是二维 Archimedean Copula，可描述对称相关结构，不具有尾部相关性。与 Clayton 和 Gumbel 不同，Frank Copula 的形状参数可以为正也可以为负，因此可用于正相关和负相关的二维依赖结构。

该函数仅支持二维输入。形状参数 alpha 越远离 0，依赖强度越强；alpha > 0 表示正相关，alpha < 0 表示负相关。alpha 趋近于 0 时趋于独立 Copula，但 alpha = 0 不在 Frank Copula 参数定义域内。

参数

alpha DOUBLE 类型标量，指定 Frank Copula 的形状参数 θ，取值范围为 (-∞, ∞) \ {0}。

alpha > 0 表示正相关。
alpha < 0 表示负相关。
alpha 的绝对值越大，相关强度越强。

X 非空二维数值矩阵或表，维度为 n×2，指定需要计算密度的评估点集。其中 n 为评估点数量，即 X 的行数；2 表示该函数仅支持二维 Copula。

所有元素必须为有限数。
位于开区间 (0, 1) 内的行按 Frank Copula 密度公式计算。
任意元素 u 位于闭区间边界或区间外（u <= 0 或 u >= 1）的行返回 0。
当 X 为表时，每一列表示一个变量，列顺序即变量顺序。

返回值

DOUBLE 向量，长度为 X 的行数。返回向量中的第 i 个元素表示 X 第 i 行对应的 Copula 概率密度值。

例子

例1. 计算形状参数 alpha=5.0 的 Frank Copula 在中心点 [0.5, 0.5] 处的概率密度。

X = matrix([0.5], [0.5])

y = copulaPdfFrank(5.0, X)
y
// 输出: [1.4735637245846294]

例2. 对多个评估点计算正相关 Frank Copula 密度。Frank Copula 的依赖结构是对称的，不会像 Clayton 或 Gumbel 那样只强化单侧尾部。

u1 = [0.05, 0.5, 0.95, 0.1]
u2 = [0.05, 0.5, 0.95, 0.9]
X = matrix(u1, u2)

y = copulaPdfFrank(5.0, X)
y
// 输出: [3.3778185121129884, 1.4735637245846294, 3.3778185121129876, 0.09167524793418452]

例3. 计算负相关 Frank Copula 密度。对于负相关参数，反向分位组合 [0.1, 0.9] 的密度高于同向尾部组合。

u1 = [0.05, 0.5, 0.95, 0.1]
u2 = [0.05, 0.5, 0.95, 0.9]
X = matrix(u1, u2)

y = copulaPdfFrank(-3.0, X)
y
// 输出: [0.21159924028293484, 1.1808253751833029, 0.21159924028293503, 2.006351286314979]

例4. 展示边界点的处理方式。包含 0 或 1 的行返回 0。

u1 = [0.0, 0.2, 0.9]
u2 = [0.1, 0.3, 1.0]
X = matrix(u1, u2)

y = copulaPdfFrank(5.0, X)
y
// 输出: [0, 1.6164687265336453, 0]

例5. 使用拟合得到的 Frank 形状参数计算样本密度。

setRandomSeed(5)
X = copulaRandFrank(5.0, 1000)
fitRes = copulaFitFrank(X)

y = copulaPdfFrank(fitRes.alpha, X)

fitRes.alpha
// 输出: 5.156894003013904
avg(y)
// 输出: 1.5819408179753056