ols

语法

ols(Y, X, [intercept=true], [mode=0], [method=”default”], [usePinv=true])

参数

Y 是因变量；X 是自变量。

Y 是一个向量；X 是一个向量、元组、矩阵或表。当 X 是矩阵时，如果行数等于 Y 的长度，X 的每一列都是一个因子；如果行数不等于 Y 的长度，并且如果列数等于 Y 的长度，X 的每一行都是一个因子。

intercept 是一个布尔变量，表示是否包含回归中的截距。默认值是 true。当它为 true 时，系统自动给 X 添加一列 "1" 以生成截距。

mode 是一个整数，默认值为 0，可取以下 3 个值

0：输出一个系数估计向量
1：输出一个具有系数估计，标准差，t 统计量和 p 值的表
2：输出一个具有 ANOVA（方差分析）、RegressionStat（回归统计）、Cofficient（系数)）和 Residual（残差)）的字典，具体含义见下表：

键 ANOVA 对应值：


Source of Variance	自由度（Degree of freedom）	平方和（Sum of Square）	均方差（Mean of square）	F统计量	Significance
Regression（回归）	变量个数（p）	回归平方和（SSR）	回归均方差（MSR=SSR/R）	MSR 对 MSE 的比值	显著性，即统计出的 P 值
Residual（残差）	残差自由度（n-p-1）	残差平方和（SSE）	残差均方差（MSE=MSE/E）
Total	样本自由度
不包括常数项（n-1）	总离差平方和（SST）

键 RegressionStat 对应值：


item	统计值
R2	R 决定系数，描述回归曲线对真实数据点拟合程度的统计量。范围在 [0,1]之间，越接近1 ，说明对y的解释能力越强，拟合越好。
AdjustedR2	经自由度修正后的决定系数，通过样本数量与模型数量对 R-squared 进行修正。
StdError	回归残差标准误差，残差经自由度修正后的标准差。
Observations	观察样本个数。

键 Coefficient 对应值：


元素	说明
factor	自变量名称
beta	回归系数估计值
stdError	回归系数标准误差。
tstat	T统计值，衡量系数的统计显著性。

键 Residual 对应每一个预测值和实际值之间的残差。

method 是一个字符串，表示求解最小二乘问题采用的方法。

默认值为“default”，表示采用构造系数矩阵和逆矩阵的方式求解；
设置为“svd”，采用奇异值分解的方式。

usePinv 一个布尔值，表示计算过程中求矩阵的逆时，是否求矩阵的伪逆。

默认值为 true，表示求矩阵的伪逆，奇异矩阵必须指定为 true。
若为 false，表示求矩阵的逆，只适用于非奇异矩阵。

详情

返回对 X 和 Y 计算普通最小二乘回归的结果。需要注意的是，该函数会将 X 和 Y 中的空值替换为0后进行计算。

例子

x1=1 3 5 7 11 16 23
x2=2 8 11 34 56 54 100
y=0.1 4.2 5.6 8.8 22.1 35.6 77.2;

ols(y, x1);
# output
[-9.912821,3.378632]

ols(y, (x1,x2));
# output
[-9.494813,2.806426,0.13147]

ols(y, (x1,x2), 1, 1);


factor	beta	stdError	tstat	pvalue
intercept	-9.494813	5.233168	-1.814353	0.143818
x1	2.806426	1.830782	1.532911	0.20007
x2	0.13147	0.409081	0.321379	0.764015

ols(y, (x1,x2), 1, 2);
# output
Coefficient->
factor    beta      stdError tstat     pvalue
--------- --------- -------- --------- --------
intercept -9.494813 5.233168 -1.814353 0.143818
x1        2.806426  1.830782 1.532911  0.20007
x2        0.13147   0.409081 0.321379  0.764015

Residual->[6.525447,4.223774,-0.383487,-5.820153,-6.638199,-6.907387,9.000005]
RegressionStat->
item         statistics
------------ ----------
R2           0.940241
AdjustedR2   0.910361
StdError     8.173444
Observations 7

ANOVA->
Breakdown  DF SS          MS          F         Significance
---------- -- ----------- ----------- --------- ------------
Regression 2  4204.416396 2102.208198 31.467739 0.003571
Residual   4  267.220747  66.805187
Total      6  4471.637143

x=matrix(1 4 8 2 3, 1 4 2 3 8, 1 5 1 1 5);
x;


#0	#1	#2
1	1	1
4	4	5
8	2	1
2	3	1
3	8	5

ols(1..5, x);
# output
[1.156537,0.105505,0.91055,-0.697821]

ols(1..5, x.transpose());
# output
[1.156537,0.105505,0.91055,-0.697821]
// 系统会调整因变量和自变量的维数，以便进行回归

x = table([13.9782,13.4688,13.4336,12.9642,12.7905,13.4771,13.0423,12.6588,13.8933,13.9006] as col0, [195.3904,181.4090,180.4627,168.0723,163.5973,181.6342,170.1017,160.2477,193.0241,193.2270] as col1, [2731.2089,2443.3656,2424.2715,2178.9356,2092.4947,2447.9167,2218.5185,2028.5594,2681.7456,2685.9754] as col2)
y = [-0.4002,-0.8004,-0.2002,-1.0002,-0.2001,-0.5001,-0.2501,0.0000,0.0000,0.0000]

ols(y, x, true, 0, "default")
[2.968166,13.023638,-2.016390,0.076485]

ols(y, x, true, 0, "svd")
[3266.457957,-722.195120,53.157806,-1.302769]

x1=1 1 1
x2=2 2 2
y = 1 1 1
ols(y, (x1, x2))
// output：[0.16666666666666669	0.16666666666666669	0.33333333333333326]
ols(y, (x1, x2), usePinv=false) 
// ERR: The input matrix is singular and cannot be inverted.

由于在求解过程中，参与求逆的矩阵是奇异的，因此 usePinv=false 时报错。